PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN

Volumen

El volumen ¹ es una magnitud escalar ² definida como el espacio ocupado por un objeto. Es una función derivada de longitud, ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva que es asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos o materiales.

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro (que equivale a un decímetro cúbico), el que se utiliza comúnmente en la vida práctica.

EL VOLUMEN Y LA CAPACIDAD

La capacidad y el volumen son términos equivalentes, pero no iguales. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).

Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuyas aristas midan 1 decímetro (1 dm³), se derramará 1 litro de agua. De tal forma, puede afirmarse que:

1 dm³ = 1 litro

Equivalencias: 1 dm³ = 0,001 m³ = 1.000 cm³

Area

el área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un poligono puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometria diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto metrico, se tiene que haber definido un tensor metrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclideo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

ÁREA DE UN TRIANGULO

El área de un triangulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:⁴

$\acute{A}=\frac{b\cdot h}{2}$

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

$\acute{A}=\frac{a\cdot b}{2}$ donde a y b son los catetos.

Si el triángulo es equilatero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raiz cuadrada de 3:

$\acute{A}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

donde a es un lado del triángulo.

Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la formula de heron

$\acute{A}= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO

El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

$\acute{A}= \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}$

El área también se puede obtener mediante triangulación:

$\acute{A}= \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}$

Siendo:

$\alpha\,$ el ángulo comprendido entre los lados $a\,$ y $d\,$ .

$\gamma\,$ el ángulo comprendido entre los lados $b\,$ y $c\,$ .

El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:⁴

$\acute{A} = {a \cdot b \,}$

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

$\acute{A}= \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2}$

El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:⁴

$\acute{A}= a \cdot a \, = a^2$

El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:⁴

$\acute{A}= b\cdot h\,$

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):⁴

$\acute{A}= \frac{a + b}{2} \cdot h$

ÁREA DEL CIRCULO Y LA ELIPSE

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:⁵

$\acute{A}={\ \pi \cdot r^2\,}$

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:⁶

$\acute{A}={\ \pi \cdot a \cdot b}$

ÁREA DELIMITADA ENTRE DOS FUNCIONES

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

$\acute{A} (a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:

$f(x)\,$ y $g(x) [< f(x)]\,$ en el intervalo $[a,b]\,$ .

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función $f(x) = 4 - x^2$ en el intervalo $[-2;2]$ , se utiliza la ecuación anterior, en este caso: $g(x)=0$ entonces evaluando la integral, se obtiene:

$A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}$

Por lo que se concluye que el área delimitada es $\frac{32}{3}$ .

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

$\frac{A}{L^2} \le \frac{1}{4\pi}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

A continuación algunos ejemplos del tema tratado

PERÍMETRO

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica

No obstante, también hay que subrayar que, de igual modo, se puede calcular el perímetro de un círculo que es una circunferencia y que se obtiene mediante la siguiente fórmula: P = Pi x 2r. En este caso, Pi es la constante matemática con un valor de 3,1416 mientras que r es la longitud del radio.

En el caso de que lo que se quiera es calcular el perímetro de un semicírculo tendremos que optar por hacer uso de la fórmula matemática siguiente: P = 2r + r x Pi = r (2+Pi). En este caso r corresponde a la longitud de lo que es el radio y Pi es la constante con el anterior mencionado valor.

Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno.

En otras palabras, en una figura, el perímetro es la suma de todos sus lados. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que resulta de gran utilidad

Para calcular el perímetro de una superficie, es necesario conocer la longitud de todos sus lados. Por ejemplo: un triángulo cuyos lados miden 3 centímetros, 8 centímetros y 9 centímetros, tiene un perímetro de 20 centímetros.

El perímetro también puede permitir, en ocasiones, conocer el dato desconocido de un lado. Si sabemos que un triángulo tiene un perímetro de 15 centímetros, y que dos de sus lados miden 5 y 2 centímetros, el tercer lado deberá medir 8 centímetros. Se trata de un problema de regla de tres simple.

Cabe destacar que, así como el perímetro es el dato que permite calcular los bordes de una superficie, el área es la que posibilita el conocimiento de su superficie interior. Así, el perímetro nos dirá cómo podemos alambrar un campo, mientras que el área aportará la información respecto a cómo podemos sembrar dicho campo o qué cantidad de fertilizante utilizar

PERÍMETRO DE UN TRIANGULO

Perímetro de un Triángulo equilátero: Recordemos que el triangulo equilátero tiene sus tres lados iguales, es decir, que miden lo mismo. Apliquemos eso y obtendremos el perímetro.

La formula en este caso sería: P = L + L+ L = 3L

Perímetro de un Triángulo isósceles: Con dos lados iguales y uno desigual

P = l +l +b = 2l +b

Perímetro Triángulo escaleno: Sus tres lados tienen diferentes longitudes, por lo que en este caso tendremos que sumar todos los lados conjuntamente.