PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN: Area

Area

el área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades demedida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un poligono puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometria diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto metrico, se tiene que haber definido un tensor metrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclideo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

ÁREA DE UN TRIANGULO

El área de un triangulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:⁴

$\acute{A}=\frac{b\cdot h}{2}$

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

$\acute{A}=\frac{a\cdot b}{2}$ donde a y b son los catetos.

Si el triángulo es equilatero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raiz cuadrada de 3:

$\acute{A}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

donde a es un lado del triángulo.

Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la formula de heron

$\acute{A}= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO

El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

$\acute{A}= \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}$

El área también se puede obtener mediante triangulación:

$\acute{A}= \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}$

Siendo:

$\alpha\,$ el ángulo comprendido entre los lados $a\,$ y $d\,$ .

$\gamma\,$ el ángulo comprendido entre los lados $b\,$ y $c\,$ .

El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:⁴

$\acute{A} = {a \cdot b \,}$

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

$\acute{A}= \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2}$

El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:⁴

$\acute{A}= a \cdot a \, = a^2$

El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:⁴

$\acute{A}= b\cdot h\,$

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):⁴

$\acute{A}= \frac{a + b}{2} \cdot h$

ÁREA DEL CIRCULO Y LA ELIPSE

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:⁵

$\acute{A}={\ \pi \cdot r^2\,}$

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:⁶

$\acute{A}={\ \pi \cdot a \cdot b}$

ÁREA DELIMITADA ENTRE DOS FUNCIONES

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

$\acute{A} (a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:

$f(x)\,$ y $g(x) [< f(x)]\,$ en el intervalo $[a,b]\,$ .

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función $f(x) = 4 - x^2$ en el intervalo $[-2;2]$ , se utiliza la ecuación anterior, en este caso: $g(x)=0$ entonces evaluando la integral, se obtiene:

$A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}$

Por lo que se concluye que el área delimitada es $\frac{32}{3}$ .

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

$\frac{A}{L^2} \le \frac{1}{4\pi}$